罗杰拿起粉笔在刷刷刷地开始书写：
解题：
设定变量与假设
设 k = frac{a^2 + b^2}{ab+1}k=ab+1a2+b2，目标是证明 kk 为完全平方数。假设 k 不是完全平方数，并选取满足条件的正整数对 (a, b)(a,b) 使得 a + ba+b 最小（最小解原则）。
构造二次方程
将条件转化为方程：
a^2 - k b a + b^2 - k = 0.a2?kba+b2?k=0.
固定 bb，将其视为关于 aa 的二次方程。设 a_1a1 为一个解，则另一解 a_2a2 满足韦达定理：
a_1 + a_2 = k b, quad a_1 a_2 = b^2 - k.a1+a2=kb,a1a2=b2?k.
由此可得 a_2 = k b - a_1a2=kb?a1，且 a_2a2 为整数。
最小解矛盾
若 a_2 = 0a2=0，代入方程得 k = b^2k=b2，与假设矛盾。
若 a_2 ＞ 0a2＞0，则 (a_2, b)(a2,b) 也是满足条件的解。由最小性假设，应有 a_2 geq a_1a2≥a1，但通过韦达关系可推出 a_2 = frac{b^2 - k}{a_1} ＜ a_1a2=a1b2?k＜a1，矛盾。
若 a_2 ＜ 0a2＜0，代入方程会导致 a_2^2 + b^2 ＞ 0a22+b2＞0，与方程成立矛盾。
结论：
唯一可能为 k 是完全平方数
当罗杰将解题的过程一步步地写在答题板上时，戴维·亚力山大的眼睛瞪得越来越大，仿佛要掉出来一般，他的嘴巴也不由自主地张成了一个大大的“O”形。
“这……这怎么可能？”戴维·亚力山大喃喃自语道，“这小子难道是个怪胎不成？”他难以置信地看着罗杰，心中充满了疑惑和震惊。
与此同时，电视机前的观众们也炸开了锅。有些人开始猜测罗杰的背景和来历，甚至有人大胆地提出：“难道这就是传说中华夏人个个数学都很好的例证？”这个想法迅速在观众中传播开来，引起了一阵热议。
甚至还有人脑洞大开地认为，罗杰当初是为了减少纽约的犯罪率，毅然投身于警察事业，成为了‘曼哈顿的守护者’，难道是大家耽误了他有可能成为一名数学家？！
但他们一致的认可：罗杰这小子真有才华！
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